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CONTENU : Mis à jour 27/09/2001II Position - vitesse en fonction de l'anomalie excentrique |
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PARAMETRAGE DU MOUVEMENT |
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CONTENU : Mis à jour 27/09/2001II Position - vitesse en fonction de l'anomalie excentrique |
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Jusqu'à présent, dans l'étude des mouvements képlériens, vous avez pu constater que la variable temps a été soigneusement évitée, et pour cause: il a été démontré qu'on ne pouvait pas exprimer la solution par des fonctions élémentaires du temps.
Dans ce chapitre, nous introduisons une variable intermédiaire
j qui permet de relier les principales variables au temps t. j:1°) DEFINITION DE L'ANOMALIE EXCENTRIQUE
j :On appelle S' l'image de S, le satellite en orbite elliptique, dans l'affinité orthogonale d'axe P, de rapport a/b.
L'ANOMALIE EXCENTRIQUE
est l'angle j entre IP et IS', mesuré positivement dans le sens du mouvement.Une révolution complète est réalisée quand
j varie de 0 à 2p. Nous constatons que la correspondance j <--> q est biunivoque.Lors de la résolution de problèmes numériques ou informatiques, mettant en jeu l'angle
j, il faudra se montrer précis.
0
2°) PARAMETRAGE DE L'ELLIPSE :
On travaille dans le triangle OHS. Nous commençons par le rayon vecteur obtenu par le théorème de Pythagore
L'angle
q est aisé à calculer :
On se doute bien que le temps t, que nous avons évité jusqu'à présent, demande un calcul plus complexe. Nous devons revenir à une équation déduite de la conservation de l'énergie, établie "en passant" dans un cours précédent.
De laquelle nous éliminons le temps pour obtenir :
Enfin en remplaçant r par son expression en fonction de
j et en tenant compte du fait que la dérivée de j est >0, il vient :
tp désigne une heure de passage au périgée. Nous rassemblons toutes ces relations dans le tableau suivant.
REMARQUE IMPORTANTE :
La relation qui donne la dérivée de j est souvent très utile dans les problèmes informatiques, lorsqu'on souhaite opérer des intégrations par rapport au temps. Elle permet un changement de variable.
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3°) Quelques relations classiques pour l'ellipse:
Nous laissons au lecteur le soin d'établir ou de se renseigner sur les relations suivantes, mettant en jeu j.
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Pente g de la vitesse |
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Anomalie vraie q |
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Anomalie excentrique j |
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II POSITION-VITESSE EN FONCTION DE
j :Dans la plupart des études informatiques, il est nécessaire de travailler avec les vecteurs position r et vitesse V, que nous allons calculer dans la base périfocale PQW en fonction de
j.1°) REPERE PERIFOCAL :
On appelle ainsi le repère d'origine O centre du corps principal, d'axes P unitaire de la direction du périgée, W unitaire du moment cinétique et Q qui complète la base directe PQW
2°) CALCUL DE r et V en fonction de
j , cas elliptique:Nous utilisons des calculs réalisés plus haut sur les mesures de OH et HS et la dérivée de
j.:
Par dérivation par rapport au temps on obtient la vitesse V, puisque les vecteurs P et Q sont fixes en hypothèse képlérienne.
Dans un cours ultérieur nous donnerons les composantes des vecteurs de base P Q W en fonction des paramètres orbitaux angulaires.
Conclusions :
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3°) CALCUL DE r et V en fonction de
j , cas hyperbolique:Les relations ci-dessus s'adaptent naturellement facilement au cas d'une trajectoire hyperbolique.
Naturellement toute une série de relations existent reliant position, anomalie vraie
q et anomalie excentrique j.
Guiziou Robert septembre 2001
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